2019年福建省名校联合模拟试卷一第23题（等腰三角形与旋转）

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2019年福建省名校联合模拟试卷一第23题

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（注：受邀于昨天（4月21日）在南安进修校为这场考试做质量分析和今后教学思考的讲座，下面是这场讲座中的部分试题分析与思考）

【名校联考】在△ABC中，AB＝AC=2，D是BC边上的动点 ，连结AD.

（1）如图1，若BC=3，∠ADC=∠BAC，求 CD的长。

（2）如图2，若BC＝2√3，D是BC的中点，把△ADC绕点A顺时针旋转α度（0<α<60）后得到△AEF,连结BF，点G是BF中点。求证：△DEG是等边三角形.

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【图文解析】

（1）常规题，如下图示，通过△ACD∽△BCA，得AC：CD＝BC：AC，得AC²＝CD×BC．

即2²＝CD×3，解得CD＝4/3；

（2）由已知条件，易得如下图所示的相关结论：

下面证明△EDG是等腰三角形

下面再证：△EDG中有一个角为60°.

【法一】（繁）如下图示，

易得∠AFB=0.5[180°－(120°－α)]，

∠AFC=0.5（180°－α），

进一步，得∠BFC=∠AFB+∠AFC=…＝120°．

同时，由点G、D分别是BF和BC的中点，得DG是△BCF的中位线，根据中位线定理，得DG∥CF，且DG：CF＝1：2．得∠DGF＝180°－∠BFC＝60°，如下图示，进一步可得到∠EGD＝60°．

【法二】如下图示，

根据圆周角定理，得∠CBF+∠BCF＝0.5∠CAF+0.5∠BAF＝0.5∠BAC＝60°，得∠BFC＝120°，……（下同法一）．

【法三】如下图示，由AB＝AF和G是BF的中点，得AG⊥BF，又AD⊥BC，不难得A、B、G、D四点在以AB为直径的圆上．进一步，風∠DGF＝∠BAD＝60°，……

【法四】△ADE与△ACF均为顶角相等的等腰三角形，显然相似，且相似比为DE：CF＝AD：AC＝1：2，得到DE＝0.5CF．又由中位线定理，得DG＝0.5CF，得DG＝DE，……（如下图，属于特殊的“旋转相似”）

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下面进行拓展与延伸：

【拓展1】当题中的旋转角为任意角时，如下图，结论如何？

【拓展2】如下图示，当△ABC为等腰直角三角形时，其他条件不变，则△DGE是什么三角形？

（结论：△DGE也是等腰直角三角形）

【拓展3】如下图示，当△ABC是一般等腰三角形（AB＝AC），判断∠BAC与∠EGD之间的数量关系，并说明理由．

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